La vertu d’approximations

Comment calculer √ 7  ? C’est facile sur une calculatrice moderne mais à l’époque de Newton elles n’existaient pas. Pourtant, en tant que génie il a trouvé un schéma de calcules itérative pour résoudre ces types de problèmes. Le principe est de commencer avec une approximation qui selon un schéma de calculée donne une meilleure approximation et cetera. Les itérations sont interrompues quand la précision a atteint un niveau acceptable. 

Pour le cas de notre problème le schéma est assez simple.

La bonne réponse pour √ 7  est entre 2 est 3 car leurs carrés sont 4 et 9 respectives. Il serait donc raisonnable de commencer la suit d’approximations par 2,5. Pourtant, pour montrer qu’il est possible de démarrer le calcule avec presque n’importe quelle chiffre, ce calcule commence avec 7/2 = 3,5. Voici le résultat :

Xn	Xn+1	(Xn+1)2
3,5	2,75	7,5625
2,75	2,647727273	7,010459712
2,647727273	2,645752048	7,000003899

La 3ème approximation est correcte à 5 décimales et encore une itération dépasserait la capacité de la calculatrice utilisée. Tous les schémas d’itération ne convergent pas si rapidement mais pour beaucoup de problème il est suffisant d’avoir 3 ou 4 décimales signifiantes au lieu des 37 que le variable de type Real dans certains logiciels utilise.

Qu’il y a des gains considérables à faire, en terme de temps de calcules et d’énergie utilisé, avec des itérations est maintenu devenu évidentes : Computer scientists find ‘inexact computing’ can improve answers.

Les chercheurs de l’article ont introduit des algorithmes itératifs dans un logiciel pour prévisions météorologiques. En adaptant la précision à ce qui est strictement nécessaire ils rapportent des gains considérables.

L’idée que des calculs exacts sont les meilleurs fleurit dans l’éducation universitaire. Pour des applications industrielles il n’est souvent pas le cas. Un problème courant est par exemple de comparer 2 alternatifs. Si alternatif A et 2 fois meilleur que alternatif B, il est sans importance si les erreurs dans les calculs soient 10% ou même 20%. En facilitant des choses il y a énormément de temps à gagner.

Pourtant, avant de pratiquer des méthodes approximatives il faut d’abord savoir être exact. Il n’est donc pas un default d’enseigner des méthodes exact. Cependant, pour pouvoir entrainer les étudiantes à faire un bon travail dans l’industrie il n’est pas suffisante.