Trompé par le zéro

Je me suis amusé avec la calculatrice d’un téléphone portable. La possibilité de faire des puissances été là et le résultat d’une opération de type a⁰, par exemple 5⁰, donnait le bon résultat=1. Cependant, pour l’opération 0⁰  le résultat restait =1. Il est faut parce que cette opération est selon mes connaissances ne pas défini. Pourquoi ? J’ai décidé de plonger un peu dans le sujet.

Parce que 0 est un nombre entier examinons d’abord l’expression 0ⁿ  où n=1,2,3 ….qui correspond à 0 * 0 *  0 ... n fois. Donnés tant de zéros il est sûr que 0ⁿ=0.

Un nombre positif, a, à la puissance zéro, a⁰, est toutefois toujours =1. Il n’est pas aussi facile à comprendre intuitivement mais sur une calculatrice 5^0.1=1,17 et 5^0,01=1.02. Quand l’exposent s’approche à zéro le résultat est évident.  

Nous avons donc 0ⁿ =0 et a⁰=1. Si on essaye d'appliquer ces deux règles à 0⁰ elle donne deux réponses différentes.

La question de la 0⁰ a été beaucoup discutée dans les années 1800. Le comte italien Guglielmo Libri écrivait dans les années 1830 plusieurs articles sur la valeur de 0 à la puissance de diffèrent nombres et il pensait qu'il fallait déclarer la définition 0⁰= 1. Bien que beaucoup en fût d'accord, dans le débat qui a suivi il devinait de plus en plus clair qu'il n’y a pas une valeur fonctionnelle. Il s’est aussi avéré que Français AL Cauchy, un des plus grands mathématiciens contemporains, déjà au début des années 1820, avait constaté qu’il n’était pas possible de définir 0⁰ sans contradictions. Lorsque la réalisation de ce fait se propageait le débat mourait.

À cette époque des débats mathématiques étaient assez fréquent. Cela parce qu’on était encore dans la transition entre les mathématiques de la Moyen Age et la Renaissance, qui était basée sur des astuces de calcules et raisonnements intuitifs.

Puis, le calme régnait autour de la valeur de 0⁰ pendant plus de 100 ans, jusqu'à ce que les ordinateurs rendaient nécessaires à décider comment régler la question. Les programmeurs ont ensuite souvent choisi la voie pragmatique et ne pas le formellement correcte. C’est pourquoi nous avons des calculatrices qui diffèrent de la réponse que le Cauchy a trouvée déjà en 1821.